У дисертацiйнiй роботi дослiджено способи апроксимацiї неадитивних регулярних мiр (названих Шоке ємностями), визначених на нескiнченних метричних просторах, неадитивними мiрами, якi мають “просту природу” або зручнi для виконання обчислень. Аналiзуються можливі способи метризацiї множин ємностей. Доведено, що метрика Прохорова на множинi ємностей, визначених на метричному компактi, є аналогом метрики Успенського, якщо використаний при означеннi останньої iнтеграл Шоке замiнити на iнтеграл Сугено, характерний саме для неадитивних мiр. Показано, що для застосування метрики Прохорова на некомпактних метричних просторах потрiбно звузити клас ємностей, регулярних щодо топологiї, до класу ємностей, регулярних щодо метрики. Основне завдання дисертацiї полягає в тому, щоб для довiльної ємностi на метричному просторi, знайти ємнiсть з певного класу, найближчу до даної ємностi щодо метрики Прохорова. Розв’язано задачi наближення ємностями наступних класiв: лiпшицевих щодо метрики Гаусдорфа ємностей; адитивних мiр на скiнченному пiдпросторi, мiр необхiдностi; мiр можливостi; нормованих ємностей, зосереджених на замкненому пiдпросторi. Таке наближення може бути не єдине, тому визначено умови, якi дають можливiсть знайти для кожної ємностi множину всiх її оптимальних наближень iз вiдповiдного класу. Дослiджено питання iснування неперервної селекцiї такого многозначного вiдображення, i отримано негативну вiдповiдь у загальному випадку. Доведено iснування неперервних майже оптимальних наближень ємностей. Для їх побудови використано властивостi iдемпотентних напiвмодулiв, оскiльки простiр субнормованих ємностей, визначених на метричному компактi, є компактним лоусоновим I -напiвмодулем, а всi розглядуванi класи є I -опуклими компактами у ньому. У дисертацiї запропоновано “скiнченне представлення” довiльної субнормованої ємностi на нескiнченному метричному компактi у виглядi її наближення ємнiстю, яка визначається скiнченною сукупнiстю значень вихiдної ємностi на всiх об’єднаннях елементiв деякої скiнченної сiм’ї пiдмножин простору, названої основою ємностi. Найменшу (у сенсi кiлькостi чи “сумарної дрiбностi” елементiв) основу ємностi характеризують введені фрактальнi вимiри, що є аналогами вимiру Гаусдорфа, верхнього та нижнього вимірів Мiнковського. Вивчено їх спiввiдношення з вiдповiдними вимiрами множин i адитивних мiр. Описано методи обчислення та оцiнки вимiрiв самоподiбних ємностей через оцiнки вiдповiдних фрактальних вимiрiв самоподiбних гiперпросторiв включення.
