Романський М. М. Функтори і асимптотичні властивості метричних просторів.

У дисертаційній роботі досліджена груба та ліпшицева еквівалентність між деякими функторіальними конструкціями, а також деякі властивості конуса, джойна та надбудови в асимптотичних категоріях. Дисертація присвячена сучасній області топології, яка останніми десятиліттями інтенсивно розвивається – асимптотичній топології (прийнято також термін "груба геометрія"). Однією з важливих задач асимптотичної топології є класифікація функторіальних конструкцій з точністю до грубої еквівалентності. У цьому напрямку лежать результати дисертації. Ми показали, що асимптотичний конус CR+ і надбудова ∑R+ не є ізоморфними. Дранішніков визначив джойн X*Y як підпростір простору ймовірнісних мір P2 (X∨Y) та поставив питання ізоморфності конуса CX і джойна X*R+ в асимптотичній категорії. Ми довели, що ці простори не є ізоморфними, однак встановили ізоморфність джойна X*R+ та декартового добутку X×R+, для випадків коли X є n-вимірним евклідовим простором або γ-слабо опуклим та δ-слабо вгнутим геодезійним простором. З результатів дисертації варто відзначити ті, що стосуються грубої еквівалентності (тобто еквівалентності в асимптотичній категорії Дж. Роу) функторіальних конструкцій. Для прикладу, розглянуто гіперпростори (простори компактних підмножин) евклідових просторів і показано, що вони не є грубо еквівалентні гіперпросторам континуумів (зв'язних компонентів) та гіперпросторам опуклих компактів. Гіперпростір exp2 R^m та простір R^m×Cone(R P^(m-1) ) є ліпшицево еквівалентними. Цей результат можна вважати грубим аналогом одного результату Шорі. У дисертації доведено асимптотичний аналог теореми Р.Ботта.