Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук (доктора фiлософiї) за спецiальнiстю 01.01.04 — геометрiя i топологiя. — Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка, Львiв, 2021.
У дисертацiйнiй роботi дослiджуються топологiзацiї напiвгруп, алгебраїчнi властивостi яких близькi до бiциклiчного моноїда, а також структури замикання таких напiвгруп i груп у напiвтопологiчних i топологiчних напiвгрупах. Зокрема розглядаються розширена бiциклiчна напiвгрупа, бiциклiчне розширення B(A) непорожньої трансляцiйної множини A лiнiйно впорядкованої групи та варiанти бiциклiчного моноїда та розширеної бiциклiчної напiвгрупи.
У дисертацiї доведено, що довiльний варiант Cm,n бiциклiчного моноїда допускає лише дискретну гаусдорфову трансляцiйно неперервну топологiю, i якщо напiвтопологiчна напiвгрупа S мiстить Cm,n як щiльну власну пiднапiвгрупу, то S \ Cm,n є iдеалом у S. Це узагальнює результати Ебергарта i Селдена, отриманi для бiциклiчного моноїда. Також доведено дихотомiю: довiльна гаусдорфова локально компактна трансляцiйно неперервна топологiя на кожному
варiантi бiциклiчного моноїда з приєднаним нулем є або компактною, або дискретною. Описано приєднання компактного iдеала до довiльного варiанта бiциклiчної напiвгрупи Cm,n у локально компактнiй напiвтопологiчнiй напiвгрупi.
Доведено, що група автоморфiзмiв розширеної бiциклiчної напiвгрупи CZ iзоморфна адитивнiй групi цiлих чисел, всi варiанти напiвгрупи CZ є попарно iзоморфними, а також, що напiвгрупа CZ i всi її варiанти не є скiнченно породженими. Описано гаусдорфовi трансляцiйно неперервнi топологiї на варiантах напiвгрупи CZ, а також показано, що на варiантах напiвгрупи CZ, на вiдмiну вiд варiантiв бiциклiчного моноїда, iснують недискретнi гаусдорфовi напiвгруповi
топологiї.
Наведено конструкцiю, з якої випливає, що на вiдмiну вiд бiциклiчного моноїда, для гаусдорфової локально компактної напiвтопологiчної розширеної бiциклiчної напiвгрупи з приєднаним нулем C0Z =CZ U {0} не виконується дихотомiя: iснує континуум рiзних гаусдорфових недискретних некомпактних локально компактних трансляцiйно неперервних топологiй на C0Z. Однак кожна гаусдорфова локально компактна напiвгрупова топологiя на напiвгрупi
C0Z є дискретною.
Доведено, що для довiльної злiченної лiнiйно впорядкованої групи G та її непорожньої трансляцiйної множини A, кожна берiвська трансляцiйно неперервна T1-топологiя на бiциклiчному розширеннi B(A) дискретна, а також для довiльної лiнiйної нещiльно впорядкованої групи G кожна трансляцiйно неперервна гаусдорфова топологiя на B(A) дискретна.
Доведено, що кожна гаусдорфова трансляцiйно неперервна локально компактна топологiя на дискретнiй електорально гнучкiй нескiнченнiй групi з приєднаним нулем G0 є або дискретною, або компактною. Наведено приклад, який показує, що на кожнiй вiртуально циклiчнiй групi з приєднаним нулем G0
iснують недискретнi некомпактнi локально компактнi трансляцiйно неперервнi топологiї, якi iндукують на групi G дискретну топологiю.
Ключовi слова: напiвгрупа, iнтерасоцiативнiсть напiвгрупи, напiвтопологiчна напiвгрупа, топологiчна напiвгрупа, бiциклiчний моноїд, локально компактний простiр, дискретний простiр, бiциклiчне розширення, простiр Бера, варiант напiвгрупи, розширена бiциклiчна напiвгрупа, група, електоральна гнучка група, електоральна стiйка група, вiртуально циклiчна група.
