Гладиш Б. І. Функції з критичними точками на межі маловимірних многовидів

Результати, отримані у дисертації, присвячені вивченню локальної та глобальної класифікацій гладких функцій із ізольованими (невиродженими) критичними точками на многовидах з межею, а також деформацій загального положення таких функцій. Першим розглянутим класом функцій є функції Морса, задані на гладких многовидах з межею, всі критичні точки яких належать межі і відповідні обмеження на межу є також є функціями Морса (так звані mm-функції). Для цих функцій отримано локальне зображення в околі критичної точки у вигляді квадратичного многочлена. Для простих mm-функцій на поверхнях описано можливі атоми і f-атоми, побудовано умови мінімальності числа особливостей у цьому класі функцій й знайдено необхідні умови продовження простої функції Морса, заданої на межі орієнтованої поверхні, до простої оптимальної mm-функції на всій поверхні. Іншим розглянутим класом є прості функції з невиродженими особливостями (як внутрішніми, так і на межі) на компактній орієнтованій по-верхні. Показано їхню топологічну еквівалентність m-функціям й побудовано комбінаторний інваріант для пошарово оснащеної класифікації зі збереженням орієнтації поверхні у формі оснащеного графа Кронрода-Ріба. Також описано всі прості атоми та виведено формулу для знаходження роду поверхні за відповідним оснащеним KR-графом. У просторах описаних вище функцій, а також для функцій Морса на замкнених поверхнях отримано критерій існування деформації загального положення функцій, використовуючи для цього деформації відповідних оснащених графів Кронрода-Ріба (для функцій Морса оснащений KR-граф графом Кронрода-Ріба у звичайному сенсі). Також описано зв'язок між оптимальністю і полярністю для кожного із класів функцій, заданих на гладкій компактній орієнтованій поверхні зі зв’язною межею (можливо порожньою). Останнім у дисертації розглянуто прості функції, всі критичні точки яких є ізольовані, належать межі й множини особливостей функції і відповідного обмеження на межу збігаються. Отримано локальну топологічну класифікацію таких функцій. Також описано атоми, побудовано критерій оптимальності й повний топологічний інваріант для оптимальний функцій цього класу у формі хордової діаграми сідлового критичного рівня.