В дисертацiйнiй роботi розглядаються певнi класифiкацiйнi задачi лiнiйної алгебри, а саме: класифiкацiя пар взаємоанулюючих, класифiкацiя матриць якi є самоконгруентими за допомогою матриць з одиничним визначником, критерiї унiтарної подiбностi для матриць в загальному положеннi та нормальних матриць, одночасна унітарна еквівалентність, та зведення пари кососиметричних матриць до її канонiчної форми вiдносно конгруентностi.
Пари (A,B) взаємоанулюючих операторів AB=BA=0 на скiнченновимiрному векторному просторi над алгебраїчно замкненим полем були класифiкованi I.Гельфандом та В.Пономарьовим методом лінійних відносин. Класифікація такої пари (A,B) над довільним полем була Л.Назаровою, А.Ройтером, В.Сергейчуком та В.Бондаренко з класифікації скінченнопороджених модулів над діадою двох локальних дедекіндових кілець. В дисертації надано канонічні матриці пари (A,B) над довільним полем у явному вигляді та наведено конструктивне доведення: матриці (A,B) послідовно зводяться до їх канонічних форм перетвореннями подібності (A, B) ↦ (S^(-1)AS,S^(-1)BS).
Д. Доковiч та Ф.Зехтман розглянули векторний простiр V, наділений білінійною формою. Вони довели, що усі iзометрiї V над полем F характеристики відмінної від 2 мають одиничний визначник тоді та тільки тоді, коли V не має ортогональних доданкiв непарної розмiрностi (випадок характеристики 2 був також розглянутий). Їх доведення базується на класифiкацiї бiлiнiйних форм Рiма. Е.Коклi, Ф.Допiко та Р.Джонсон надали iнше доведення цього критерiю над R та C, використовуючи канонiчнi пари Томпсона симетричних та кососиметричних матриць відносно конгруентності. Нехай M – матриця білінійної форми на V. Було надане інше доведення цього критерію над полем F використовуючи власні канонічні матриці відносно конгруентності та отримано необхідні та достатні умови, використовуючи канонічні форми M для конгруентності, пари (M^T, M) для еквівалентності, та M^(-T) M (якщо M невироджена) для подібності.
Кожна квадратна комплексна матриця унітарно подібна верхньотрикутній матриці з діагональнимим елементами у будь-якому визначеному порядку. Нехай A=[a_ij] та B=[b_ij] – верхньотрикутні n×n матриці такі, що
• вони не подібні прямій сумі матриць менших розмірів, або
• вони є матрицями у загальному положенні та мають однакові головні діагоналі.
У роботі доведено, що A та B унітарно подібні тоді та тільки тоді, якщо
∥h(A_k)∥ = ∥h(B_k)∥ для усіх h ∈ C[x] та k = 1,...,n,
да A_k∶=[a_ij]_(i,j=1)^k та B_k∶=[b_ij]_(i,j=1)^k є лідуючими головними k×k підматрицями матриць A та B, та ∥ ⋅ ∥ - норма Фробеніуса.
Надано декілька критеріїв унітарної подібності нормальної матриці A та довільної матриці B у термінах норм Фробеніуса, спектральних норм, характеристичних многочленів та слідів матриць.
Нехай S_1, S_2, S_3, S_4 задана скінченна множина пар n-на-n комплексних матриць. Наведений алгоритм, що визначає за скiнченну кiлькiсть обчислень, чи iснує одна унiтарна матриця U така, що матрицi кожної пари з S_1 унiтарно подiбнi за допомогою U, з S_2 унiтарно конгруентнi за допомогою U, з S_3 унiтарно подiбнi за допомогою U ̅, та з S_4 унітарно конгруентні за допомогою U ̅.
Нехай (A,B) – пара кососиметричних матриць над полем характеристики, відмінної від 2. Її регуляційний розклад – це пряма сума
(▁A,▁B)⊕(A_1,B_1)⊕⋅⋅⋅⊕(A_t,B_t)
що конгруентна (A, B), в якій (▁A,▁B) – пара невироджених матриць та (A_1,B_1)⊕⋅⋅⋅⊕(A_t,B_t ) – вироджені нерозкладні канонічні пари кососиметричних матриць відносно конгруентності. Надано алгоритм, що будує регуляційний розклад. Також надано конструктивне доведення канонічної форми (A,B) відносно конгруентності над алгебраїчно замкненим полем характеристики, відмінної від 2.
