Маслова Ю. П. Тополого-метрична та фрактальна теорія двоосновного G2-зображення чисел і її застосування

Дисертаційне дослідження проведено у галузі метричної теорії чисел. Воно присвячене розвитку топологічної, метричної, ймовірнісної та фрактальної теорій дійсних чисел, що грунтуються на двосимвольній системі кодування чисел (G_2-зображення), яка є аналогом відомої двоосновної системи (Q_2-зображення). Обидві основи останньої системи є додатними, а в першої - одна основа додатна, а друга від'ємна. Для останньої системи запропоновано нові застосування, а для першої створено нову цілісну теорію, яка має ряд принципових відмінностей. Обидва зображення чисел формально однотипні, але не є топологічно еквівалентними. Вони мають однакові основні метричні відношення і схожу метричну складову теорії, але - принципово різні властивості спеціальних функцій: операторів лівостороннього та правостороннього зсувів, інверсора. Доведено, що оператор лівостороннього зсуву цифр є неперервним, інверсор цифр зображення чисел є всюди розривною, ніде не монотонною функцією, а оператори правостороннього зсуву цифр, будучи лінійними функціями, мають різну монотонність і однакові значення в точці g_0. Це категорично відрізняє G_2-зображення від інших відомих двосимвольних зображень, зокрема нега-двійкового. У роботі запропоновано узагальнення функцій Радемахера та Уолша, які ґрунтуються на Q_2-зображенні чисел. Досліджено їх інтегральні властивості; доведено, що узагальнені функції Радемахера утворюють ортогональну систему функцій. Для кожної узагальненої функції Уолша знайдено її аналітичний вираз. Запропоновано узагальнення неперервних недиференційовних функцій Буша, Вундерліха, Трибін-функції, яке грунтується на Q_s^*-зображення чисел відрізка [0;1], зі збереженням властивостей неперервності, ніде не монотонності, автомодельності. Вивчено його варіаційні властивості, описано властивості рівнів, зокрема їх масивність.