Встановлена структура замкнених підгруп афінної групи Кремони над алгебраїчно замкненим полем характеристики 0, що містять спеціальну лінійну підгрупу. Доведено, що звичайна афінна група є макимальною замк-неною (в Ind-топології Зариського) підгрупою афінної групи Кремони. Аналогічні результати отримано для групи оборотних поліноміальних перетворень симплектичного простору. Для довільного поля характеристи-ки 0 доведено, що група поліноміальних перетворень, яка містить афінну підгрупу і принаймні одне нелінійне перетворення, діє k-транзитивно на афінному просторі для довільного наперед обраного k. Ці результати можна розглядати як алгебраїчні аналоги теореми Б. Мортимера, яка стверджує, що "майже завжди" скінченна афінна група є максимальною у відповідній симетричній групі. Щодо максимальності афінної групи як абстрактної під-групи, то показано, що в розмірності n>2 афінна група разом із довільним нелінійним трикутним перетворенням породжують групу ручних полі-номіальних перетворень. При n=2 це твердження неправильне. Вказано дея-кі класи перетворень малої композиційно-трикутної довжини, кожен з елементів яких разом з афінною групу породжують групу . Узагальнюється відома теорема Пітера Неймана про ізоморфізми стандартних вінцевих добутків груп на вінцеві добутки довільних транзитивних груп перетворень із абстрактними групами. Використовуючи техніку обчислень у вінцевих добутках, описано регулярні автоморфізми груп блочно-унітрикутних та блочно-трикутних перетворень. Доведено, що над полем характеристики 0 всі регулярні автоморфізми груп блочно-трикутних перетворень (зокрема групи Жонк'єра) є внутрішніми. Встановлено, що такі групи над скінченними полями мають зовнішні авто-морфізми, причому вся група автоморфізмів є напівпрямий добуток елемен-тарної абелевої групи на підгрупу внутрішніх автоморфізмів. Доведено, що всі регулярні автоморфізми афінної групи Кремони над алгебраїчно замкненим полем характеристики 0 є внутрішніми. Ключові слова: афінний простір, симплектичний простір, нескінченновимірнаалгебраїчна група, поліноміальне перетворення, афінна група, афінна група Кремони, група Жонк'єра, градуйована алгебра Лі, коренева структура алгебр Лі, вінцевий добуток, регулярні автоморфізми.
