Забавський Б. В. Діагональна редукція матриць над кільцями

В дисертації доведено, що кожне праве кільце Безу стабільного рангу 1 є правим кільцем Ерміта. Показано, що кожне напівлокальне праве кільце Безу є правим кільцем Ерміта. Встановлено критерій ермітовості комутативних кілець Безу: комутативне кільце Безу є кільцем Ерміта тоді і тільки тоді, коли його стабільний ранг не перевищує 2. Показано, що комутативне кільце Безу з компактним простором мінімальних простих ідеалів є кільцем Ерміта. Доведено, що праве кільце Безу, фактор-кільце якого за радикалом Джекобсона є правим кільцем Ерміта, є також правим кільцем Ерміта. Показано, що кільце матриць над прямо скінченним кільцем, над яким довільна квадратна матриця діагоналізується, є прямо скінченним. Доведена діагональна редукція матриць певного вигляду над регулярним кільцем скінченного стабільного рангу, а також "слабка" діагональна редукція матриць над довільним регулярним кільцем. Перелічені результати дають відповіді на питання, сформульовані Хенріксеном. Показано, що клас простих кілець елементарних дільників без дільників нуля збігається з класом 2-простих кілець Безу без дільників нуля. Доведена "можлива" редукція матриць над 3-простим кільцем Безу без дільників нуля. Показано, що праве кільце Безу без дільників нуля стабільного рангу 1 є правим 2-Евклідовим і що кільце головних ідеалів без дільників нуля стабільного рангу 1 є Евклідовим кільцем. В класі кілець елементарних дільників виділено новий підклас кілець (а саме, кільця з елементарною редукцією матриць), над якими довільна матриця діагоналізується лише елементарними перетвореннями. Показано, що комутативне 2-Евклідове кільце є кільцем з елементарною редукцією матриць. Показано, що над кільцем елементарних дільників редукцію матриць до порядку 2 можна здійснити елементарними перетвореннями. Побудована теорія однобічної елементарної редукції матриць над адекватним кільцем, а також матриць спеціального вигляду над довільним кільцем елементарних дільників.