Горькавий В. О. Перетворення поверхонь в просторах сталої кривини

Дисертаційна робота присвячена побудові теорії узагальнених перетворень типу Беклунда-Біанкі для псевдосферичних підмноговидів в багатомірних просторах сталої кривини і в більш загальних ріманових просторах, вирішенню проблем відновлення поверхонь евклідового простору за заданим грасмановим образом та характеризації підмноговидів евклідового і псевдо-евклідового простору за допомогою перетворень зі збереженням грасманового образу, а також побудові ізометричних перетворень зі збільшенням об'єму для замкнутих поверхонь в Е3. В теорії перетворень Беклунда-Біанкі доведено псевдосферичність двомірних поверхонь, зв'язаних псевдосферичною конгруенцією, в просторах сталої кривини En, Sn, Hn , n>3. Проаналізовано можливість побудови перетворення Беклунда-Біанкі для псевдосферичних поверхонь в En. Описано псевдосферичні поверхні в E4, що допускають перетворення Біанкі. Ініційована проблематика побудови поняття псевдосферичної конгруенції та знаходження аналогів перетворення Беклунда-Біанкі для двомірних поверхонь в ріманових просторах-добутках SnxR1, HnxR 1. Описані багатомірні псевдосферичні підмноговиди в сфері Sn та в просторі Лобачевского Hn, для яких перетворення Біанкі вироджується в лінію. В теорії грасманового образу вирішено питання відновлення замкненої поверхні в E4 за наперед заданим спеціальним грасмановим образом у вигляді поверхні з виродженою проекцією в G+(2,4). Описано загальні, конформні, ізометричні, еквіареальні перетворення зі збереженням грасманового образу для двомірних поверхонь в евклідовому просторі Еn та для світло-подібних поверхонь в просторі Мінковського En,1. Розвинуто геометрично обґрунтовану теорію сильно-ізотропних та l-мінімальних поверхонь в En,1 - світло-подібних аналогів мінімальних поверхонь в En. В теорії ізометричних перетворень побудовані спеціальні лінійні згинання зі збільшенням об'єму для правильних прямих пірамід і призм в E3. Побудовані ітераційні лінійні згинання зі збільшенням об'єму для правильних опуклих багатогранників в E3: зокрема, досягнуте відносне збільшення об'єму сягає більше 44% для тетраедра і більше 24% для куба. Для кусково-гладких замкнутих опуклих поверхонь обертання досліджені спеціальні короткі перетворення типу Паульсена в класі кусково-гладких поверхонь обертання: доведено критерій того, що задана поверхня обертання дозволяє коротке перетворення зі збільшенням об'єму.