Яшан Б.О. Крайові задачі з імпульсними умовами для параболічних рівнянь з виродженням. - Кваліфікаційна наукова праця на правах рукопису.
Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора філософії за спеціальністю 111 - "Математика". - Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, Чернівці, 2020.
Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків та списку літератури. У вступі обгрунтовано актуальність теми дослідження, сформульовано мету, завдання, предмет, об'єкт та методи дослідження, вказано наукову новизну, практичне значення отриманих результатів, зв'язок роботи з науковими темами та особистий внесок здобувача, а також наведено дані про те, де доповідались, обговорювались та опубліковані основні результати дисертації.
У розділі 1 наведено огляд літератури, що стосується теми дисертації.
У розділі 2 розглядаються задачі для параболічних рівнянь другого порядку з імпульсною дією за часовою змінною, а саме: задача Коші, Діріхле, задача зі скісною похідною та одностороння крайова задача. Коефiцiєнти рiвняння мають степеневi особливостi довiльного порядку за часовою i за просторовими змiнними на деякiй множинi точок. За допомогою принципа максимуму та апріорних оцінок доводиться існування та єдиність розв'язків поставлених задач в гельдерових просторах із степеневою вагою.
У розділі 3 вивчається задача Коші, Діріхле, задача зі скісною похідною та одностороння крайова задача з багатоточковою умовою за часовою змінною для параболічного рівняння другого порядку зі степеневим виродженням у коефіцієнтах рівняння і крайових умов. Коефіцієнти рівняння і крайових умов допускають степеневі особливості довільного порядку за будь - якими змінними на деякій множині точок. Необхідні та достатні умови існування розв'язку доведено за допомогою принципу максимуму та апріорних оцінок в гельдерових просторах зі степеневою вагою. Порядок степеневої ваги залежить від степеневих особливостей коефіцієнтів рівняння і крайових умов.
У розділі 4 досліджено задачу оптимального керування системою, що описується задачею зі
скісною похiдною та iнтегральною умовою за часовою змiнною для параболiчного рiвняння другого порядку. Розглядаються випадки внутрiшнього, стартового i межового керування. Критерiй якостi задається сумою об’ємних та поверхневих iнтегралiв. Коефiцiєнти параболiчного рiвняння та крайової умови допускають степеневi особливостi довiльного порядку за будь-якими змiнними. За допомогою принципу максимуму i апрiорних оцiнок встановлено iснування та єдинiсть розв’язку нелокальної параболiчної крайової задачi з виродженням. Знайдено необхідні і достатні умови існування оптимального розв'язку задачі керування системою, що описується задачею зі скісною похідною для параболічного рівняння з виродженням.
Практичне значення отриманих результатів.
Результати дисертації мають теоретичний характер. Їх можна застосовувати у подальших теоретичних дослідженнях крайових задач з імпульсними умовами для диференціальних рівнянь у частинних похідних з виродженнями у коефіцієнтах.
Ключові слова: інтерполяційні нерівності, принцип максимуму, апріорні оцінки, виродження, імпульсна дія, крайові умови.
