Щеглов М. В. Узагальнення та застосування нерівностей Вітні, Дзядика та інших для алгебраїчних поліномів

Дисертацiйне дослiдження присвячене наближенню різноманітних функцій поліномами та пов’язаними з ними функціями. Головною метою дослiдження є доведення класичних оцінок похибок наближення поліномами, що зберігають певні властивості функції, тобто забезпечують так звану апроксимацію з обмеженнями.. Значну увагу придiлено вивченню формозберігаючого наближення, зокрема комонотонного та копозитивного – тобто таких, які зберігають проміжки монотонності та, відповідно, знакосталості вихідної функції. Сучасна теорія формозберігаючого наближення неперервних на відрізку функцій алгебраїчними поліномами майже настільки ж повна, як і відповідна теорія наближення без обмежень. Природнім поширенням цієї теорії є SPA (Shape­Preserving Approximation) періодичних функцій, а також SPA функцій комплексної змінної, які є значно складнішими. Тим не менш, за останні 20­25 років відбулось суттєве просування SPA періодичних функцій, але, як не дивно, остаточні результати були отримані для кусково­опуклих (2­монотонних) та qмонотонних функцій, але не кусково­монотонних (1­монотонних). Саме кусково­монотонні періодичні функції досліджені в 6­у розділі дисертаційної роботи. Що стосується SPA функцій комплексної змінної, то цей розділ теорії функцій ще знаходиться в початковому стані і певне просування міститься в розділі 4 дисертаційної роботи. Розділ 5, в якому розглядаються так звані гібридні поліноми, є допоміжним для розділу 6, але, на наш погляд, має самостійний інтерес. Нарешті, важливим апаратом у багатьох доведеннях теорії функції є нерівність Вітні – зокрема, в теорії сплайнів, конструктивній теорії функції та ін. Поточковий варіант нерівності Вітні досліджується в розділі 3.