Чаповський Є. Ю. Нiльпотентнi i розв’язнi алгебри Лi диференцiювань кiлець многочленiв

Дисертацiйна робота присвячена вивченню розв’язних i нiльпотентних пiдалгебр алгебри Лi диференцiювань комутативних кiлець над полем характеристики 0. Алгебри Лi диференцiювань є фундаментальним об’єктом i знаходять застосування в числених роздiлах математики i фiзики, зокрема, в диференцiальнiй геометрiї, теорiї звичайних диференцiальних рiвнянь, теорiї диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними, алгебраїчнiй геометрiї, теоретичнiй фiзицi, тощо. Особливо варто вiдзначтити декiлька прикладiв, що стосуються симетрiйного аналiзу диференцiальних рiвнянь — науки, що дослiджує симетрiї диференцiальних рiвнянь i використовує їх властивостi для розв’язання важливих питань про саме рiвняння. Так, якщо звичайне диференцiальне рiвняння порядку ? має розв’язну алгебру Лi симетрiй розмiрностi ?, то знаючи таку алгебру Лi симетрiй рiвняння можна розв’язати в квадратурах. Користуючись схожою iдеєю, звичайнi диференцiальнi рiвняння другого порядку якi можна розв’язати таким чином були класифiкованi i їх класифiкацiя звелася до класифiкацiї двовимiрних алгебр Лi векторних полiв на площинi. Для диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними апарат симетрiйного аналiзу дозволяє знаходити сiм’ї спецiальних частинних розв’язкiв, знаючи якусь алгебру Лi симетрiй таких рiвнянь, а як вiдомо знаходження точних розв’язкiв диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними є, взагалi кажучи, проблематичним. Бiльш точно, розглянувши деяку пiдалгебру симетрiй диференцiального рiвняння з частинними похiдними можна задатися пошуком розв’язкiв, що є iнварiантними вiдносно цiєї пiдалгебри Лi симетрiй. Це дозволяє зробити редукцiю, тобто перейти до нової системи диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними, у якої кiлькiсть незалежних змiнних менше на порядок пiдалгебри Лi симетрiй.