Ратушняк С. П. Фрактальні функції і розподіли їх значень

Дисертація присвячена двом класам фрактальних функцій, означених на одиничному відрізку в термінах одного двосимвольного узагальнення двійкового зображення чисел і його несамоподібного поліосновного узагальнення. Функція є фрактальною, якщо множини точок несталості, множини особливостей, зокрема диференціального характеру, множини рівнів функції або графік є фрактальними у широкому або вузькому сенсі. Прикладами фрактальних функцій є ніде не монотонні, ніде не диференційовні та сингулярні функції. Для задання та дослідження останніх широко використовують різні системи зображення чисел. Нетривіальною задачею в цьому аспекті є аналітичне задання фрактальної функції, аргумент і значення, якої подані в термінах одного і того ж двосимвольного зображення. Основна задача цієї роботи – оцінити потенціал двосимвольних систем кодування дійсних чисел як апарату для задання та дослідження функцій з фрактальними властивостями, а саме: використовуючи функціональну залежність двох змінних між парами цифр аргумента і цифрами значення функції коректно означити класи функцій з локально складною структурою. Для двох класів функцій, пов’язаних з двоосновним кодуванням чисел одиничного відрізка засобами двосимвольного алфавіту вивчити структурні, варіаційні, автомодельні і фрактальні властивості, описати тополого-метричні властивості суттєвих для них множин (графіків, множин рівнів, множин особливостей різного роду тощо), а також лебегівську структуру розподілів їх значень при рівномірному розподілі аргумента. Для конструктивно описаних класів функцій проведено дослідження фрактальних, диференціальних, структурних та варіаційних властивостей, на конкретних прикладах продемонстровано методологію дослідження розподілів значень функцій. Розв’язано дві задачі ймовірнісної теорії кодування, результати яких узагальнюють дослідження розподілів випадкових величин, заданих своїм двосимвольним зображенням.