Дисертація присвячена дослідженню гомотопічних властивостей гладких функцій на поверхнях.
А саме, розглядаються відображення з класу F(M,P), який складається з гладких відображень з поверхні M у коло або пряму P, які приймають постійні значення на кожній зв'язній компоненті межі поверхні, критичні точки яких належать до внутрішності поверхні та такі, що в околі кожної критичної точки вони є гладко еквівалентними деяким однорідним многочленам без кратних множників.
Основнi результати, якi визначають наукову новизну дисертацiї:
-- показано, що для кожного відображення з класу F(B,P) гладких відображень на стрічці Мебіуса B, існує єдиний критичний рівень, який розбиває B в об'єднання циліндра і 2-дисків (такий рівень названо спеціальним).
– для всіх відображень з F(B,P) обчислено фундаментальні групи їх орбіт за умови тривіальності дій стабілізаторів цих відображень на компонентах зв'язності доповнення до відповідних спеціальних критичних рівнів;
– доведено, що для довільного відображення з класу F(M,P) на зв'язній орієнтовній компактній поверхні M і для довільного дифеоморфізма, який залишає інваріантною кожну регулярну компоненту множини рівня цього відображення та змінює її орієнтацію, квадрат цього дифеоморфізма ізотопний тотожньому відображенню зі збереженням відображення (це твердження є гомотопічним та пошаровим аналогом властивості <<жорсткості>> для змінюючих орієнтацію лінійних рухів площини, яка стверджує, що кожен такий рух має порядок 2);
-- розглянуто клас ізоморфізму груп T, що породжується прямими добутками та певними типами вінцевих добутків, який містить фундаментальні групи орбіт всіх функцій з класу F(M,R) на орієнтовних поверхнях крім 2-сфери. Для нього доведені такі результати:
- отримано теореми реалізації для груп із класу T як фундаментальних груп орбіт функцій з класу F(M,P) на поверхнях відмінних від 2-сфери і 2-тора, зокрема за певних обмежень на поведінку функцій на межі;
- також отримано теореми реалізації для груп із класу T як фундаментальних груп орбіт функцій з класу F(T^2, R) на 2-торі T^2;
- обчислено центр Z(G) і фактор-групу по комутанту G/[G,G] для кожної групи G з класу T і показано, що вони є вільними абелевими групами однакового рангу b_1. Зокрема, якщо G -- фундаментальна група орбіти деякої функції з F(M, R), то b_1 є першим числом Бетті цієї орбіти, тобто рангом першої групи гомологій.
