Аналітичні відображення на нескінченновимірних банахових просторах є невід'ємною частиною сучасного функціонального аналізу. Останнім часом зріс інтерес до дослідження дії операторних груп та напівгруп у просторах аналітичних функцій нескінченновимірного банахового простору X. При цьому виникає питання про інваріантні підпростори аналітичних функцій на X, їх алгебраїчні та топологічні структури. У багатьох випадках такі підпростори є алгебрами відносно поточкових операцій додавання та множення, а їх спектр (множина максимальних ідеалів) містить важливу інформацію про дію даної напівгрупи операторів на просторі X.
Алгебри аналітичних функцій на банахових просторах та їх спектри досліджувались в роботах Л. Нахбіна, Т. Гамеліна, Т. Корна, Б. Коула, Дж. Мухіки. Пізніше, Р. Арон, Б. Коул та Т. Гамелін розглянули алгебру Hb(X) аналітичних функцій обмеженого типу на комплексному банаховому просторі X і запропонували досліджувати спектр такої алгебри за допомогою так званого продовження Арона-Бернера аналітичних функцій обмеженого типу у другий спряжений простір X** до простору X. Цей підхід було застосовано у багатьох працях. Зокрема, Р. Арон, П. Галіндо, Д. Гарсіа і М. Маестре описали структури аналітичного многовиду над X** на спектрі алгебри Hb(X). У роботах А.В. Загороднюка було узагальнено цей метод і використано продовження Арона-Бернера для поліномів на топологічних тензорних добутках.
Симетричні поліноми на банаховому просторі досліджувались в роботах А.С. Немировського, С.М. Семенова, М. Гонзалеса, Р. Гонзало, Х. Харамілло, Р. Аленкара, Р. Арона, П. Галіндо, А. Загороднюка, М. Маестре, Д. Гарсія, П. Хаєка, І. Чернеги, Т. Василишина, В. Кравців та інших. Встановлено, що спектр алгебри симетричних аналітичних функцій обмеженого типу на деякому банаховому просторі суттєво залежить як від вибору простору так і від вибору групи або напівгрупи симетрії. Наприклад, як показано у роботі П. Галіндо, Т. Василишина і А. Загороднюка, у випадку, коли X = L∞[0,1], і група симетрії складається з групи вимірних автоморфізмів відрізка [0,1], спектр алгебри симетричних аналітичних функцій обмеженого типу повністю описується функціоналами значень в точках простору X. Проте, як показано у роботах І. Чернеги, П. Галіндо та А. Загороднюка, у випадку, коли X = lp, 1 ≤ p < ∞, і група G є групою перестановок базисних векторів, спектр алгебри симетричних аналітичних функцій обмеженого типу є ширшим, ніж множина функціоналів значень в точках. У цьому випадку, на спектрі існують природні алгебраїчні операції, які утворюють структуру комутативного напівкільця з одиницею.
