Дисертаційну роботу присвячено побудові комбінаторних тотожностей для деяких типів класичних многочленів, зокрема, з використанням ядра локально нільпотентних диференціювань комплексної алгебри многочленів від багатьох змінних. Вперше введені поняття про диференціювання Чебишева першого роду, диференціювання Чебишева другого роду і диференціювання Лагерра. Для ядер локально-нільпотентних диференціювань Чебишева першого роду та Лагера знайдено алгебричний та комбінаторний опис. Оскільки кожне таке диференціювання слугує джерелом тотожностей для відповідних многочленів, знайдено набір нових біноміальних тотожностей для класичних многочленів Лагерра.
Задача знаходження ядра лінійного локально-нільпотетного диференціювання еквівалентна задачі знаходження алгебри інваріантів групи GL_2 , що призводить до виникнення локально-нільпотетних диференціальних операторів при переході до відповідної дії алгебри Лі sl_2 та її підалгебр. У випадку підгрупи UT_2 відповідна алгебра Лі діє диференціюванням, яке добре вивчене і носить назву базисного диференціювання Вейтценбека.
Одним із важливих класів класичних многочленів, які мають широке застосування в теорії чисел, комбінаториці, теорії зображень є многочлени Аппеля, звичайна похідна яких співпадає із дією диференціювання Вейтценбека. З іншого боку, многочлени Аппеля представляють інтерес в контексті спеціальних функцій. Відомі сім’ї многочленів Аппеля, які допускають представлення через узагальнену гіпергеометричну функцію та її часткові випадки.
Із ідентичності диференціювань Аппеля та Вейтценбека випливає існування ізоморфізму, який є переставний із дією обох диференціювань. У роботі встановлено явний вигляд ізоморфізму між ядрами диференціюваннь Вейтценбека і Чебишева другого роду.
Існування апелевих сімей, які допускають представлення через узагальнену гіпергеометричну функцію, послугувало мотивацією для пошуку нової сім’ї многочленів із такою властивістю. Знайдені многочлени отримали назву “узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля”, частковими випадками цих многочленів є класичні многочлени Ерміта та многочлени Гоулда-Хоппера. Встановлено властивості узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля, зокрема, вигляд породжуючоъ функцій, представлення у стандартному базисі та за допомогою ряду диференціального оператора.
У якості нового наукового результату отримане рекурентне рівняння для узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля, знайдено розв’язок оберненої задачі узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля, розв’язки задач зв’язності для узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля та інших апелевих многочленів.
Більшість формул є рекурентними, однак у деяких випадках вдалось отримати явні розв’язки. Наведені приклади показують, що у часткових – як експонента чи функція Куммера - випадках узагальненої гіпергеометричної функції, розв’язок оберненої задачі узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля має явний вигляд.
