Дисертацiйну роботу присвячено вивченню дробових моделей фiнансової математики та розв’язанню пов’язаних з ними статистичних задач. Зокрема дослiджено дробову модель Васiчека та модель змiшаного дробового броунiвського руху з трендом.
В природi iснує багато рiзноманiтних явищ, якi можуть бути представленi як процеси випадкової еволюцiї в часi. Традицiйно для математичного моделювання таких часових рядiв використовують стандартний броунiвський рух. Однак, рiзнi дослiдження показали, що деякi процеси демонструють властивостi самоподiбностi, довгострокової залежностi та мають складнi структури кореляцiй. Використання дробового броунiвського руху дозволяє маделювати такi процеси, оскiльки вiн має корельованi прирости, якi дають короткострокову залежнiсть при iндексi Хюрста меншому за 1/2 та довгострокову залежнiсть при iндексi Хюрста бiльшому за 1/2.
Iмовiрнiсна модель, запропонована у 1977 роцi О. Васiчеком (O. Vasicek) для опису еволюцiї вiдсоткової ставки, знайшла широке застосування не лише в економiцi та фiнансовiй математицi, а й у багатьох iнших галузях. Для моделювання процесiв з властивiстю довгострокової залежностi, якi виникають у фiнансах, економiцi, гiдрологiї та телекомунiкацiях, було запропоновано узагальнення цiєї моделi, дробову модель Васiчека, яка вивчалась у роботах P. Cheridito et al. (2003), F. Comte et al. (2012), W. Xiao et al. (2014) та iнших.
Наразi теорiя параметричного оцiнювання добре розвинена в частковому випадку моделi з одним невiдомим параметром. Див., наприклад, роботи M. Kleptsyna and A. Le Breton (2002), Y. Mishura (2008), Y. Hu and D. Nualart (2010), K. Es-Sebaiy (2013), K. Tanaka (2013), K. Kubilius et al. (2015), Y. Kozachenko et al. (2015), K. Kubilius et al. (2017), A. Kukush et al. (2017).
Однак в прикладних задачах виникає потреба в бiльш гнучкiй двопараметричнiй моделi. Вiдповiднi дослiдження були проведенi Y. Kutoyants (2004), але для класичної моделi Васiчека, породженої процесом Вiнера.
У дисертацiйнiй роботi розглядається задача оцiнювання для дробової моделi Васiчека з двома невiдомими параметрами.
Для дробової моделi Васiчека побудовано так званi оцiнки ергодичного типу як для неперервних, так i для дискретних спостережень траєкторiї процесу. В обох випадках доведена їх строга консистентнiсть. Для дискретного випадку проведено чисельне моделювання наведених оцiнок.
Окрiм цього, за непервних спостережень для невiдомих параметрiв побудовано оцiнки максимальної вiрогiдностi: для кожного параметра окремо, коли iнший вважається вiдомим, та векторна оцiнка для одночасного оцiнювання. Доведено консистентнiсть та знайдено асимтотичнi розподiли представлених оцiнок. Встановлено важливий факт асимптотичної незалежностi оцiнок максимальної вiрогiдностi для двох невiдомих параметрiв.
У дисертацiї також розглядається модель змiшаного дробового броунiвського руху з трендом. Ця модель, введена в P. Cheridito (2001), застосовується, наприклад, у моделюваннi трафiку комп’ютерної мережi та бiльш широко у фiнансах.
Проблема оцiнювання параметрiв у змiшаному дробовому броунiвському русi без тренду вивчалася в декiлькох роботах, наприклад, M. Dozzi et al. (2015), D. Filatova (2008), W.-L. Xiao et al. (2011), P. Zhang et al. (2014).
У статтi C. Cai et al. (2012) розглядалося оцiнювання параметра зсуву, припускаючи, що iндекс Хюрста та коефiцiєнт при вiнерiвському процесi вiдомi, а коефiцiєнт при дробовому броунiвському русi дорiвнює 1. Зауважимо, що цей пiдхiд потребує знання розв’язку iнтегрального рiвняння. Тому цю оцiнку важко дискретизувати, а особливо складно адаптувати її до випадку невiдомих iндекса Хюрста та коефiцiєнта при вiнерiвському процесi.
Наскiльки нам вiдомо, одночасне оцiнювання усiх чотирьох параметрiв моделi змiшаного дробового броунiвського руху з трендом вивчалося лише в J. Dufitinema et al. (2020), але з трохи iншою параметризацiєю.
Оцiнювання параметра зсуву в аналогiчних моделях iз бiльш загальними шумами вивчалось у роботах Y. Mishura et al. (2015–2018).
У дисертацiйнiй роботi дослiджується два пiдходи до одночасного оцiнювання усiх чотирьох параметрiв моделi змiшаного дробового броунiвського руху з трендом.
Перший — бiльш класичний. У ньому спочатку доводиться строга консистентнiсть та асимптотична нормальнiсть вiдомої оцiнки параметра зсуву. Потiм у неї пiдставляються строго консистентнi оцiнки iнших параметрiв, якi основанi на квадратичних варiацiях. Доведено строгу консистентнiсть отриманої оцiнки. Однак, даний пiдхiд має певнi обмеження. Тому розроблено новий пiдхiд на основi ергодичної теореми. Вiн дозволяє одночасно оцiнити усi невiдомi параметри за куди бiльш загальних умов. У роботi доведено строгу консистентнiсть побудованих оцiнок. Також отримано асимптотичну нормальнiсть оцiнки параметра зсуву. Пiсля цього проведено порiвняння ефективностi двох оцiнок для параметра зсуву.
Наведено результати чисельного моделювання усiх оцiнок, побудованих двома методами.
