Сухорукова Х. О. Неадитивнi мiри та їх застосування в теорiї рiвноваги

Дисертація присвячена дослідженню класів неадитивних мір, породжених трикутними нормами *-мір). Такі міри означені як функціонали на просторах неперерівних функцій зі значеннями в одиничному відрізку. Простори *-мір наділяються слабкою* топологією і в цій топології утворюють компактні гаусдорфові простори. Показана функторіальність конструкції простору *-мір у категорії компактних гаусдорфових просторів та їх неперервних відображень. Для просторів *-мір побудовано аналог відображення Мілютіна, відомого для просторів ймовірнісних мір та ідемпотентних мір, що дозволяє зводити загальний випадок до нульвимірного. Ідемпотентна математика — частина математики, в якій одна зі звичайних арифметичних операцій в R замінюється ідемпотентною операцією (наприклад, максимум). Результати та методи ідемпотентної математики знаходять численні застосування в різних частинах математики, а також в інформатиці та інших дисциплінах. Метою дисертацiйної роботи є дослiдження трикутних норм ∗ в категорiї компактних гаусдорфових просторiв; дослiдження просторiв ∗-мiр з компактними носiями на ультраметричних (неархiмедових) просторах; дослiдження структури монади, породженої функтором ∗-мiр з компактними носiями на категорiї ультраметричних просторiв i нерозтягуючих вiдображень, i встановлення деяких фундаментальнi властивостi таких монад; означення iгор в ∗-значних стратегiях i доведення неперервностi функцiй виплат для цих iгор для застосування в теорiї рiвноваги. У дослідженнях проблематики дисертації застосовуються методи теорії функторів у топологічних категоріях, методи загальної топології, ідемпотентної математики, теорії категорій та теорії рівноваги. У розділі “Простори *-мір на компактних гаусдорфових просторах” для кожної трикутної норми * ми запроваджуємо поняття *-міри як функціонала на просторі неперервних функцій C(X, I). Множина усіх *-мір на компактному гаусдорфовому просторі наділяється слабкою* топологією. Показано, що утворений простір *-мір є компактним гаусдорфовим. Ця конструкція визначає коваріантний функтор на категорії компактних гаусдорфових просторів і неперервних відображень. Також побудовано аналог відображення Мілютіна, вперше означеного для ймовірнісних мір, для *-мір та напiвнеперервних згори ємностей. Крім того, побудовано опис *-мір як замкнених множин добутку простору на одиничний сегмент з певними властивостями. Доведено, що множина ∗-мiр зi скiнченними носiями всюди щiльна в просторi всiх ∗-мiр. Одним з основних результатів розділу є опис просторів *-мір як гіперпросторів множин з певними властивостями. Це дає змогу порівнювати між собою простори *-мір для різних трикутних норм *. У розділі “Простори *-мір з компактними носіями на ультраметричних просторах” розглядається ультраметричний випадок (нагадаємо, що метрика називається ультраметрикою, якщо вона задовольняє сильну нерівність трикутника), побудована ультраметризація просторів *-мір з компактними носіями на ультраметричних просторах. Показано, що утворена конструкція визначає коваріантний функтор у категорії ультраметричних просторів та нерозтягуючих відображень. Він є аналогом для *-мір функторів, означених для ймовірнісних мір, ідемпотентних мір та напівнеперервних зверху ємностей з компактними носіями. У дисертації доведено, що цей функтор є локально нерозтягуючим. Також доведено, що простір *-мір з компактними носіями на повному ультраметричному просторі є повним ультраметричним простором. Одним з основних результатів цього розділу є збереження функтором *-мір класу повних ультраметричних просторів. Розділ “Монади, породжені функторами *-мір” присвячений структурі монади, що визначається функторами *-мір на категорії Ultr ультраметричних просторів і нерозтягуючих відображень. Встановлено деякі фундаментальні властивості таких монад. Наведено приклади неізоморфних монад для різних трикутних норм *. Зокрема, така структура дозволяє визначити тензорний добуток *-мір у категорії Ultr. Для цього розглянуто максимальну ультраметрику на добутку ультраметричних просторiв. У свою чергу, ми визначаємо ігри в *-значних стратегіях на ультраметричних просторах і доводимо неперервність функцій виплат для цих ігор. Нарешті, доведено, що будь-яку рівновагу для ігор у *-значних стратегіях можна апроксимувати майже рівновагами, що складаються з *-мір зі скінченними носіями.