Станжицький А. О. Асимптотична поведінка розв’язків стохастичних функціонально-диференціальних РІВНЯНЬ в гільбертових просторах. — Квалі¬фікаційна наукова праця на правах рукопису.
Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора філософії за спеціаль¬ністю «111 — математика» — Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут імені !горя Сікорського"Міністерства освіти і науки України, Київ, 2023.
Дисертаційна робота присвячена вивченню нескінченновимірних стоха- стичних функціонально-диференціальних рівнянь в гільбертових просторах, що є математичними моделями найрізноманітніших об’єктів складної приро¬ди, еволюція яких відбувається в полі випадкових сил з урахуванням післядії. Найпоширеніші серед таких моделей описуються стохастичними функціонально- диференціальними еволюційними рівнянннями з частинними похідними. На відміну від класичних стохастичних диференціальних рівнянь, які можна на-звати «звичайними», ці рівняння поєднують в собі риси функціонально- диференціальних рівнянь з частинними похідними і стохастичних рівнянь Іто. Інтерес до цих рівнянь виник практично одночасно в теорії рівнянь з частинни¬ми похідними й у теорії випадкових процесів. Велика кількість праць присвяче¬на дослідженню розв’язків таких рівнянь різноманітної стохастичної природи у скінченновимірних і найрізноманітніших нескінченновимірних функціональ¬них просторах. Оскільки більшість сучасних математичних моделей описує процеси із розподіленими параметрами, то особливого значення набувають стохастичні рівняння із частинними похідними, або більш широко-рівняння із необмеженими опраторами. Теорія стохастичних диференціальних рівнянь з необмеженими операторами є важливим напрямком розвитку сучасної теорії стохастичних рівнянь. У дисертаційній роботі досліджуються початкові задачі для стохастичних функціонально-диференціальних рівнянь як звичайного так і нейтрального типів, тобто коли єфект запізнення проявляється не тільки у коефіцієнтах рівняння, а і в "похідній". Для таких рівнянь отримані умови існу¬вання та єдиності розв’зку, вивчена їх неперервна залежність від початкових даних, встановлені марковська та фелерівська властивості розв’язків у просто¬рах зсувів. При цьому розглянуті різні підходи до означення розв’язку: м’який, слабкий та сильний.
При доведенні існування м’якого розв’язку використовується апарат аналітич¬ної теорії напівгруп обмежених операторів, породжених необмеженим операто¬ром, що входить у праву частину рівняння. При цьому суттєво використовують¬ся властивості стохастичної конволюції, тобто стохастичної згортки відповідної напівгрупи із коефіцієнтами правої частини рівняння. Даний підхід широко використовувався при дослідженні нескінченновимірних стохастичних систем без запізненням в роботах G. Da Prato, J. Zabczyk, S. Сеггаі, M. Иаігег та інших авторів. Для стохастичних функціально-диференціальних рівнянь він також широко використовувася в роботах T.Govmdan, Q. Ьі, M. Wel та інших авторів. Однак для рівнянь нейтрального типів подібні результати отримані лише при досить жорстких припущеннях. Останнє зумовлено присутністю у формулі м’якого розв’язку необмеженого оператора. Ще одним важливим аспектом є те, що реальні математичні моделі є рівняннями у яких праві частини інтер- притуються як зовнішні впливи, що не зобов’язані бути гладкими, навіть ліп- шицевими функціями. Отже виникає питання встановлення умов існування та єдиності розв’язків без умови Ліпшиця і лінійного росту.Саме такий випадок і вивчається у роботі.
Встановлення умов існування слабких розв’язків проводиться із викори¬станням теорії монотонних операторів, а також із використанням підходу ком¬пактності, розробленого у школі Ліонса. Адаптація даних підходів до стоха¬стичних рівнянь проведена в роботах Huang L, Mao X, We! Ьіи, Mkhael Rockner та інших авторів. Однак, для функціонально-диференціальних рівнянь у цьому напрямку результати отримані лише у деяких частинних випадках. Важливо зазначити, що на праві частини при цьому не накладається умови Ліпшиця, яка замінена певною умовою монотонності і степеневого росту.
Існування сильних розв’язків розглядалось раніше лише для рівнянь із фік¬сованим запізненням.
Заповненню даних прогалин і присвячене дисертаційне дослідження. Зо¬крема отримані теореми існування м’яких розв’язків для рівнянь нейтрально¬го типу при значно слабших умовах, ніж у вище вказаних авторів, доведено існування слабких розв’язків для спарених рівнянь, одне з яких нескінченно-
вимірне стохастичне функціонально-диференціальне, а інше звичайне дифе¬ренціальне. Такі рівняння з’являються у різного роду застосуваннях: напри¬клад бідоменне рівняння (модель дефибрилятора), рівняння Ходкіна-Хакслі для аксона нерва,рівняння ядерної динаміки та інші. При встановленні умов існування сильних розв’язків використоно підхід, що базується на отриманні апріорних оцінок математичного сподівання різних норм соболівського типу із подальшим застосуванням теорем типу Сіріна.
