Гончарук А. Б. Алгебраїчнi конструкцiї в лiнiйних диференцiальних рiвняннях та в теорiї неявних лiнiйних рiзницевих рiвнянь

English version

Дисертація на здобуття ступеня доктора філософії

Державний реєстраційний номер

0823U101429

Облікова картка дисертації

0823U101429.pdf

Здобувач

Спеціальність

  • 111 - Математика

Спеціалізована вчена рада

ID 2915

Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна

Анотація

В дисертації розглянуті лінійні диференціальні рівняння n-того порядку над кільцем формальних степеневих рядів з коефіцієнтами з деякого комутативного кільця і неявні різницеві рівняння n-того порядку над комутативним кільцем. Досліджується питання існування і єдиності розв'язку таких рівнянь і знаходження цього розв'язку. Питання цілком розв’язано для диференціального рівняння з поліноміальною неоднорідністю та неявного різницевого рівняння з фінітною неоднорідністю. Сформульовані достатні умови існування і єдиності розв'язку диференціального рівняння у кільці формальних степеневих рядів з коефіцієнтами, що належать повному кільцю нормування поля з неархімедовим нормуванням, де неоднорідність не є поліномом. Також знайдений цей розв’язок у вигляді суми ряду, збіжного за неархімедовим нормуванням. Результат уточнено для рівняння над кільцем цілих чисел. Введено спеціальне поняття згортки формального ряду Лорана з від'ємними степенями і формального степеневого ряду. За допомогою цього поняття знайдений деякий аналог фундаментального розв'язку оператора для розглянутого рівняння, і показано, що за умови єдиності і існування розв’язку, він має вигляд згортки фундаментального розв’язку відповідного оператора з неоднорідністю. Сформульовані достатні умови існування і єдиності розв'язку неявного лінійного різницевого рівняння над деякими класами повних кілець, в тому числі над кільцем цілих p-адичних чисел та кільцем формальних степеневих рядів у випадку, коли неоднорідність рівняння не є фінітною. Також знайдено цей розв’язок у вигляді суми ряду, збіжного за неархімедовим нормуванням. Для випадку неповного кільця, за деяких умов на коефіцієнти, доведено що за умови існування розв’язку цей розв’язок є єдиним і дорівнює сумі розгляданого ряду. Доведені достатні умови для існування і єдиності розв’язку у вигляді формального степеневого ряду для неявного різницевого рівняння, коефіцієнти якого є поліномами. Для неявного різницевого рівняння першого порядку над кільцем поліномів доведені додаткові результати, які дозволяють знаходити розв'язки конкретних рівнянь у кільці поліномів або доводити, що таких розв’язків не існує. Розглянуто лінійне неявне різницеве рівняння з неоднорідністю, що має вигляд квазіполінома з коефіцієнтами, що належать кільцю, знайдені умови на кільце, для якого існує єдиний розв’язок такого рівняння. Розглянуто операторне рівняння першого порядку з узагальненим оператором лівого зсуву над кільцем цілих чисел, для якого диференціальне і різницеве рівняння першого порядку є частковими випадками. Для цього рівняння доведений критерій існування і єдиності розв'язку, і знайдений розв'язок у вигляді суми ряду, збіжного за a-адичною топологією. Всі розглянуті в дисертації рівняння можна записати у вигляді нескінченної лінійної системи. Показано, що за умов єдиності і існування розв'язку рівняння, розв'язок такої системи, отриманий за допомогою правила Крамера, збігається з єдиним розв'язком цього рівняння.

Читати повністю

Публікації

Гефтер, С. Л., Гончарук, А. Б., Півень, О. Л.: Цілочисельні розв'язки векторного неявного лінійного різницевого рівняння. Доповіді НАН України 11, 11–18 (2018) DOI: 10.15407/dopovidi2018.11.011

Goncharuk, A.: Implicit linear difference equation over a non-Archimedean ring. Visnyk of V. N. Karazin Kharkiv National University. Ser. Mathematics, Appl. Math. and Mech. 93, 18–33 (2021) DOI: 10.26565/2221-5646-2021-93-03

Goncharuk, A.: Cramer's rule for implicit linear differential equations over a non-Archimedean ring, Visnyk of V. N. Karazin Kharkiv National University. Ser. Mathematics, Appl. Math. and Mech. 95, 39–48 (2022)

Hefter, S. L., Goncharuk, A. B.: Linear Differential Equation with Inhomogeneity in the Form of a Formal Power Series Over a Ring with Non-Archimedean Valuation. Ukr Math J 74, 1463–1477 (2022) DOI: 10.1007/s11253-023-02163-0 (Scopus Q3)

Gefter, S., Goncharuk A.: The generalized backward shift operator on Z[[x]], Cramer's formula for solving infinite linear systems, and p-adic integers. In: Book of Abstracts of V International Conference ``Analisis and mathematical physics'' dedicated to Vladimir A. Marchenko’s 95th birthday, Kharkiv, Ukraine (2017) DOI: 10.13140/RG.2.2.24135.80805

Goncharuk A.: The generalized backward shift operator on Z[[x]], Cramer's formulas for solving infinite linear systems, and p-adic integers. In: Book of abstracts of The 28th International Workshop on Operator Theory and its Applications (IWOTA), Chemnitz, Germany, pp. 57-58 (2017)

Goncharuk A.: Implicit linear differential equation over the ring of polynomials. Збірник тез доповідей XV Міжнародної наукової конференції студентів та молодих вчених «Сучасні проблеми математики та її застосування в природничих науках та інформаційних технологіях», Харків, с. 5 (2020)

Goncharuk A., Gefter S.: Non-homogeneous implicit linear differential equation over the ring of formal power series. Збірник тез доповідей Міжнародної конференції молодих математиків, Київ, с. 50 (2021)

Goncharuk A.: Implicit difference equation over the ring of polynomials. In: Book of abstracts of Conference on Rings and Polynomials, Graz, Austria, p. 29 (2021)

Goncharuk, A., Gefter, S., Piven', A.: Implicit linear difference equations over commutative rings. In: Book of Abstracts of The 26th International Conference on Difference Equations and Applications (ICDEA 2021), Sarajevo, Bosnia and Herzegovina, p. 154 (2021)

Gefter, S., Goncharuk, A.: Linear differential equations in the ring of formal power series over a topologicl ring. Збірник тез Міжнародної конференції з комплексного і функціонального аналізу, присвяченої пам'яті Богдана Винницького, Дрогобич, с. 19 (2021)

Gefter, S., Goncharuk, A.: Linear differential equations in the ring of formal power series. In: Book of Abstracts of The 5-th International Conference ``Differential Equations and Control Theory'' (DECT 2021), Kharkiv, p. 19 (2021)

Gefter, S. L., Goncharuk, A. B., Piven', A. L.: Quasi-polynomial solutions of implicit linear difference equations over a local commutative ring. In: Book of Abstracts of The International online conference ``Current trends in abstract and applied analysis'', Ivano-Frankivsk, p. 32 (2022)

Gefter, S., Goncharuk, A., Piven', A.: Periodic and quasi-polynomial solutions of implicit linear difference equations over commutative rings. In: Book of Abstracts of The 27th International Conference on Difference Equations and Applications, Paris, p. 137 (2022)

Gefter, S., Goncharuk, A.: Generalized backward shift operators on the ring Z[[x]], Cramer's rule for infinite linear systems, and p-adic integers. In: Bottcher, A., Potts, D., Stollmann, P., Wenzel, D. (eds) The Diversity and Beauty of Applied Operator Theory. Birkhauser, Cham. pp. 247–259 (2018) DOI: 10.1007/978-3-319-75996-8_13

Gefter, S., Goncharuk, A., Piven', A.: Implicit Linear First Order Difference Equations Over Commutative Rings. In: Elaydi, S., Kulenovic, M.R.S., Kalabusic, S. (eds) Advances in Discrete Dynamical Systems, Difference Equations and Applications. ICDEA 2021. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, Springer, Cham. pp. 199–216 (2023) DOI: 10.1007/978-3-031-25225-9_10

Читати повністю

Файли

Goncharuk_diss.pdf

autoreferat-Goncharuk_anotation.pdf

editrequest-Дата захисту - Гончарук.pdf

Схожі дисертації

0824U001117

Крикля Яна Анатоліївна

Вільні ліві n-тринільпотентні тріоїди

0824U000513

Локазюк Олександра Вікторівна

Реалiзацiї алгебр Лi на прямiй та групова класифiкацiя диференцiальних рiвнянь

0824U000261

Мороз Микола Петрович

Функції з фрактальними властивостями, пов’язані з представленнями чисел рядами Енгеля та Остроградського–Серпінського–Пірса

0823U101974

Чаповський Євгеній Юрійович

Нiльпотентнi i розв’язнi алгебри Лi диференцiювань кiлець многочленiв

0823U101930

Щеглов Микита Владиславович

Узагальнення та застосування нерівностей Вітні, Дзядика та інших для алгебраїчних поліномів