Коломієць Т. Ю. Дослідження гіперкомплексних систем і теорії міри у скінченновимірних алгебрах

Дисертаційна робота присвячена вивченню властивостей моногенних (неперервно-диференційовних і диференційовних у відповідному сенсі) функцій зі значеннями у гіперкомплексних системах, які є скінченновимірними комутативними та некомутативними (зокрема, кліффордовими) алгебрами над полем K (дійсних R або комплексних C чисел), і застосуванню цих властивостей для знаходження розв’язків диференціальних рівнянь з частковими похідними (ДРЧП) та лінійних систем ДРЧП з використанням відповідних алгебраїчно-аналітичних методів. Крім цього, у дисертації досліджено поліноміальні рівняння в алгебрі Сегре B_8 (R). Вивчено основні властивості ймовірнісної міри P_(W_4 ) зі значеннями в алгебрі бігіперболічних чисел W_4 та міри ω зі значеннями в алгебрі кватерніонів H. У першому розділі дисертаційної роботи проведено огляд результатів попередніх досліджень, пов’язаних із темою дисертації, подано допоміжні теоретичні відомості та необхідні алгебраїчні конструкції. У другому роздiлi: розроблено метод знаходження розв’язків поліноміальних рівнянь, коефіцієнти яких набувають значень в алгебрі Сегре B_8 (R), яка є дійсним восьмивимірним зображенням алгебри комплексних кватерніонів Сегре B_4 (C); з використанням алгебраїчно-аналітичного методу у випадку комутативних алгебр знайдено формулу узагальненої функцiї щiльностi f(t,x) розподiлу випадкового одновимірного руху x(t), яка задовольняє ДРЧП шостого порядку (узагальнене телеграфне рівняння), часткові розв’язки ДРЧП четвертого порядку (так зване узагальнене біхвильове рівняння) та часткові розв’язки лінійних систем ДРЧП; з використанням алгебраїчно-аналітичного методу у випадку некомутативних алгебр знайдено розвинення моногенної функції f(∙) (неперервно-диференційовної й ліводиференційовної у сенсі власних векторів узагальненого оператора Коші-Рімана D, тобто Df(∙)=0) зі значеннями в алгебрі Кліффорда 〖Cl〗_(p,q)^R (p+q=d+1), породженої (d+1)-вимірним лінійним простором E^(d+1),d=0,1,…, над полем R, у ряд за поліномами типу Фуетера; наведено приклади застосування розвинення 〖Cl〗_(p,q)^R-значної функції в ряд для знаходження часткових розв’язків ДРЧП другого порядку. У третьому розділі: досліджено аналог класичної дійснозначної ймовірнісної міри P у випадку, коли ця міра набуває значень в алгебрі бігіперболічних чисел W_4; вивчено основні властивості бігіперболічнозначної ймовірнісної міри P_(W_4 ) та бігіперболічнозначної випадкової величини X_(W_4 ); узагальнено поняття класичної дійснозначної міри μ на випадок кватерніоннозначної міри ω, тобто міри, яка набуває значень в алгебрі кватерніонів H; вивчено основні властивості кватерніоннозначної міри ω.