Довгопятий О. П. До теорії локальної і межової поведінки плоских і просторових відображень

У дисертаційній роботі досліджуються властивості відображень зі скінченним спотворенням, які активно вивчаються протягом останніх 25-30 років, а також рівняння Бельтрамі й задача Діріхле для нього. У першому розділі розвинута теорія межової поведінки відображень областей евклідового простору та отримані модульні нерівності типу Полецького. Розділ складається з трьох підрозділів. У першому підрозділі отримано неперервне продовження відображень з оберненою нерівністю Полецького на межу у випадку, коли мажоранта в цій нерівності інтегровна, область визначення має слабко плоску межу, а область значення є локально зв’язною на своїй межі. У другому підрозділі отримана верхня обернена оцінка модуля типу Полецького, в якій бере участь аналог внутрішньої дилатації відображення. У третьому підрозділі отримана логарифмічна неперервність за Гельдером відображень з оберненою нерівністю Полецького у межових точках у випадку, коли мажоранта в цій нерівності інтегровна, а відображена область є обмеженою опуклою. Другий розділ присвячений теоремам компактності класів розв’язків рівняння Бельтрамі й задачі Діріхле. Розділ складається з трьох підрозділів. У першому підрозділі доведено теореми про компактні класи гомеоморфізмів з гідродинамічним нормуванням, які є розв’язками рівняння Бельтрамі у деякій жордановій області, характеристики яких мають компактний носій і задовольняють певні обмеження інтегрального характеру. У другому підрозділі доведено теореми про компактні класи гомеоморфізмів з гідродинамічним нормуванням, які є розв’язками рівняння Бельтрамі, характеристики яких мають компактний носій і задовольняють певні обмеження теоретико-множинного типу. Третій підрозділ присвячений питанням, що стосуються проблеми компактності розв’язків задачі Діріхле для рівняння Бельтрамі в деякій однозв’язній області. Третій розділ присвячений існуванню розв’язків рівняння Бельтрамі і містить три підрозділи. Перший підрозділ стосується існування розв’язків квазілінійних рівнянь Бельтрамі з двома характеристиками. Другий підрозділ присвячений існуванню розв’язків квазілінійних рівнянь Бельтрамі з двома характеристиками та гідродинамічним нормуванням. Останній (третій) підрозділ стосується просторових відображень з аналогом гідродинамічного нормування. Доведено, що відповідні гомеоморфізми формують одностайно неперервні сім’ї за деяких умов на характеристику квазіконформності.