Дисертаційна робота є продовженням досліджень в області конструктивних методів наближеного розв'язання крайових задач і присвячена побудові нових модифікацій двостороннього методу прискореної збіжності для дослідження та наближеного розв'язання крайових задач для нелінійних диференціальних рівнянь в частинних похідних в областях зі складною структурою краю, передісторією та задач з нелокальними крайовими умовами.
Завданням дослідження є побудова конструктивних двосторонніх методів наближеного розв'язання крайових задач для квазілінійних хвильових рівнянь з розривною правою частиною в області зі складною структурою краю, крайових задач для нелінійних хвильових рівнянь в області зі складною структурою краю та передісторією, а також задач з нелокальною крайовою умовою Нахушева А.М. у випадку системи квазілійних рівнянь в частинних похідних. Встановлення достатніх умов існування регулярного та іррегулярного розв'язку досліджуваної задачі, його єдиності та знакосталості.
Дисертаційна робота складається з анотації українською та англійською мовами, вступу, чотирьох розділів основної частини, висновків, списку використаних джерел та додатку.
У вступі обґрунтовано актуальність проведених досліджень, сформульовано мету та завдання, вказано об'єкт, предмет та методи дослідження, відмічено наукову новизну та практичне значення отриманих результатів.
У першому розділі проведено огляд літературних джерел та основних задач, які пов'язані з темою дисертаційного дослідження.
Другий розділ присвячений крайовим задачам для хвильових рівнянь з розривними правими частинами в області із складною структурою краю. Досліджувана крайова задача зведена до системи еквівалентних інтегральних рівнянь. Побудовано одну швидкозбіжну модифікацію двостороннього методу їх наближеного розв'язання, встановлено достатні умови існування регулярного або іррегулярного розв'язку крайової задачі, його єдиності та знакосталості. Показано, що множина функцій прискорення є не порожня. Наведено практичні методи побудови функцій порівняння крайових задач. Одержано апостеріорну оцінку наближеного розв'язку досліджуваної задачі. Доведено рівномірну збіжність побудованих послідовностей функцій до єдиного неперервного розв'язку системи інтегральних рівнянь. У цьому розділі також наведено ще один підхід наближеного розв'язання крайової задачі, який проілюстровано на прикладі.
У третьому розділі досліджуються крайові задачі для нелінійних хвильових рівнянь в областях зі складною структурою краю та передісторією. Вихідна крайова задача зводиться до еквівалентної системи нелінійних інтегральних рівнянь, для якої побудовано конструктивний швидкозбіжний двосторонній метод дослідження та наближеного розв'язання. Встановлено достатні умови існування, єдиності розв'язку системи інтегральних рівнянь. Доведено рівномірну збіжність побудованих послідовностей функцій до єдиного розв'язку системи інтегральних рівнянь. Встановлено, що множина функцій прискорення збіжності не порожня. Доведено достатні умови регулярності або іррегулярності розв'язку досліджуваної задачі та його знакосталості. Продемонстровано практичний метод відшукання функцій порівняння для розглядуваної крайової задачі.
У четвертому розділі досліджуються задачі з нелокальною крайовою умовою Нахушева А.М. у випадку системи квазілійних рівнянь в частинних похідних. Запропоновано одну модифікацію двостороннього методу прискореної збіжності їх наближеного розв'язання. Доведено теорему про рівномірну збіжність побудованих послідовностей функцій до єдиного розв'язку крайової задачі. Показано, що збіжність побудованого методу є не повільніша збіжності раніше відомих методів. Доведено теорему про диференціальні нерівності та одержано апостеріорну оцінку похибки наближеного розв'язку. Також у цьому розділі наведено приклад ілюстративного характеру, в якому побудовано послідовності функцій для двох випадків і проведено аналіз одержаних апостеріорних оцінок наближень.
Отримані в дисертаційній роботі результати носять теоретичний і практичний характер. Вони узагальнюють та доповнюють попередні дослідження в якісній теорії крайових задач та теорії конструктивних методів. Розроблені модифікації двосторонніх методів можуть бути застосовані до розв'язання прикладних задач, математичними моделями яких є крайові задачі для нелінійних диференціальних рівнянь в частинних похідних в областях зі складною структурою краю, передісторією та нелокальними крайовими умовами.
