Селютін Д. Д. Фільтри, узагальнені види збіжності та їхні застосування

Дисертацiю присвячено дослiдженню фiльтрiв, їхнiх властивостей, та їх застосувань до рiзноманiтних роздiлiв математики, зокрема теорiї топологiчних векторних просторiв, загальної топологiї, теорiї iнтегрування. Перший роздiл дисертацiйної роботи присвячено iсторiї вивчення питань, розглянутих в дисертацiї, та огляду лiтератури. Описано основнi конструкцiї, про якi йтиме мова протягом всiєї дисертацiї. Також сформульовано основнi вiдомi результати, якi буде використано в наступних роздiлах. Другий роздiл дисертацiйної роботи присвячено вивченню властивостей фiльтрiв та ультрафiльтрiв на множинi натуральних чисел. У третьому роздiлi дисертацiйної роботи ми вивчаємо iдеали на множинi натуральних чисел N. Четвертий роздiл дисертацiйної роботи присвячено дослiдженню одного, проте досить широкого класу iдеалiв, а саме iдеалiв, породжених модульними функцiями. У п’ятому роздiлi дисертацiйної роботи ми вивчаємо застосування теорiї фiльтрiв до теорiї топологiчних векторних просторiв. Повнота простору є одним iз найважливiших понять не тiльки в теорiї топологiчних векторних просторiв, а й взагалi в математицi. Саме тому природною є задача узагальнення цього поняття для просторiв, якi не мають метричної структури, в яких ми не можемо користуватися мовою збiжностей послiдовностей у стандартному сенсi цього слова. Тому в даному роздiлi ми вводимо цiлу низку узагальнень поняття повноти простору мовою фiльтрiв, аналiзуємо зв’язок введених понять з ранiше вiдомими, та дослiджуємо властивостi нових видiв повноти простору. Шостий роздiл дисертацiйної роботи присвячено застосуванню теорiї фiльтрiв до теорiї iнтегрування.