У дисертації виконано розширений симетрійний аналіз (дійсного симетричного потенціального) бездисперсійного рівняння Нижника
$u_{txy}=(u_{xx}u_{xy})_x + (u_{xy}u_{yy})_y,$ (1)
яке також називають бездисперсійним рівнянням Нижника–Новікова–Вєсєлова або навіть бездисперсійним рівнянням Новікова–Вєсєлова. Це рівняння є бездисперсійним аналогом дійсного симетричного потенціального рівняння Нижника.
Разом із рівнянням (1) також розглянуто його нелінійне представлення Лакса
$v_t=\frac13\left(v_x^3-\frac{u_{xy}^3}{v_x^3}\right)+u_{xx}v_x-\frac{u_{xy}u_{yy}}{v_x}, v_y=-\frac{u_{xy}}{v_x}$ (2)
і бездисперсійний відповідник
$p_t=(h^1p)_x+(h^2p)_y, h^1_y=p_x, h^2_x=p_y$ (3)
симетричної системи Нижника, який є потенціальною системою для рівняння (1).
У розділі 1 досліджено симетрійні властивості рівняння (1) та систем (2) і (3). Зокрема, знайдено їх максимальні алгебри ліївської інваріантності $\mathfrak g$, $\mathfrak g_{\rm L}$, $\mathfrak g_{\rm dN}$, а також максимальну алгебру $\mathfrak g_{\rm c}$ контактних симетрій рівняння (1).
Застосовуючи оригінальну версію алгебраїчного методу на основі мегаідеалів, обчислено псевдогрупи точкових симетрій $G$, $G_{\rm L}$, $G_{\rm dN}$ відповідно для рівняння (1) та систем (2), (3), а також псевдогрупу контактних симетрій $G_{\rm c}$ рівняння (1). Виявилося, що необхідна алгебраїчна умова, яка є основою методу, повністю визначає псевдогрупу $G$, а тому для завершення її обчислення не потрібно використовувати прямий метод. Це перший приклад такого роду в літературі. Окрім того доведено, що псевдогрупа $G$ містить рівно три незалежні дискретні елементи, а псевдогрупа $G_{\rm c}$ є першим продовженням псевдогрупи $G$. Обчислення псевдогрупи $G_{\rm c}$ є першим прикладом застосування версії алгебраїчного методу на основі мегаідеалів для знаходження псевдогрупи контактних симетрій диференціального рівняння.
Описано всі диференціальні рівняння третього порядку з трьома незалежними змінними, які інваріантні відносно алгебри $\mathfrak g$. Знайдено повний набір геометричних властивостей рівняння (1), що виокремлюють його з усього класу диференціальних рівнянь із частинними похідними третього порядку з трьома незалежними змінними.
У розділі 2 вичерпно вивчено ліївські редукції рівняння (1) і побудовано широкі сім’ї його інваріантних розв’язків. Вперше представлено точний формалізований опис повної оптимізованої процедури ліївської редукції у випадку системи рівнянь із частинними похідними з трьома незалежними змінними, релевантному для рівняння (1).
Використовуючи результати розділу 1, прокласифіковано одно- та двовимірні підалгебри алгебри $\mathfrak g$ і одновимірні підалгебри алгебри $\mathfrak g_{\rm L}$ з точністю до $G$- і $G_{\rm L}$-еквівалентності, відповідно. Замість стандартного підходу, що ґрунтується на знаходженні і використанні внутрішніх автоморфізмів алгебр Лі, розглянуто дію псевдогрупи $G$ на алгебру $\mathfrak g$, яку знайдено через підняття векторних полів з $\mathfrak g$ елементами псевдогрупи $G$.
Вперше обчислено групи точкових симетрій редукованих рівнянь, включно з їх дискретними точковими симетріями, і в усіх випадках перевірено, чи є ці симетрії або прихованими, або індукованими. Оскільки більшість розглянутих редукованих рівнянь є досить громіздкими, різні версії алгебраїчного методу набагато ефективніші для таких обчислень, ніж прямий метод. Крім того, деякі редуковані рівняння для рівняння (1) не є максимального рангу. Отже, зазначений аналіз редукованих рівнянь є, зокрема, першим в літературі явним і систематичним дослідженням ліївських та загальних точкових симетрій диференціальних рівнянь, які не є максимального рангу.
У результаті широкі сім’ї нових інваріантних розв’язків рівняння (1) побудовано у явному вигляді в термінах елементарних функцій, функцій Ламберта та гіпергеометричних функцій, а також у параметричній або неявній формах.
Оскільки будь-яка функція вигляду $u=w(t,x)+\tilde w(t,y)$, що відповідає адитивному розділенню змінних $x$ та $y$, є розв’язком рівняння (1), таке розділення змінних тривіальне для цього рівняння. Тому для пошуку неліївських розв’язків рівняння (1), які узагальнюють деякі його інваріантні розв’язки, застосовано мультиплікативне розділення змінних $x$ та $y$, анзац для якого має вигляд $u=\varphi(t,x)\psi(t,y)$ з $\varphi_x\ne0$ і $\psi_y\ne0$. Отримані результати показують, що ще більше розв’язків рівняння (1) в деякій замкненій формі можна побудувати, використовуючи інші методи симетрійного аналізу диференціальних рівнянь.
