Карпенко І. М. Метод задачі Рімана-Гільберта для модифікованого рівняння Камасси-Хольма з ненульовими крайовими умовами

English version

Дисертація на здобуття ступеня доктора філософії

Державний реєстраційний номер

0823U100932

Здобувач

Спеціальність

  • 111 - Математика

Спеціалізована вчена рада

ДФ 64.175.009_ID_2648

Фізико-технічний інститут низьких температур імені Б. І. Вєркіна Національної академії наук України

Анотація

Метою дослідження дисертаційної роботи є розробка методу оберненої задачі розсіювання у формі задачі Рімана-Гільберта (РГ) для модифікованого рівняння Камасси-Хольма (мКХ) m_t +(u^2-u_x^2)m_x = 0, m=u-u_{xx}, з подальшою метою дослідження властивостей розв'язків цього рівняння, зокрема, асимптотики за великим часом. Характерною особливістю задач Коші, які розглядаються для цього рівняння, є ненульові умови на поведінку розв’язку, коли просторова змінна x прямує до нескінченності. Рівняння мКХ є модифікацією, з кубічною нелінійністю, оригінального рівняння Камасси-Хольма (КХ); воно, як і рівняння КХ, є інтегровним у тому сенсі, що воно є умовою сумісності пари лінійних диференціальних рівнянь (пари Лакса). Завдяки ненульовому фону, x-рівняння з пари Лакса можна розглядати як спектральну задачу, яка має неперервний спектр. Це дозволяє сформулювати обернену задачу розсіювання як задачу РГ аналітичної факторизації у комплексній площині спектрального параметра. У розділі 2 розглядається задача Коші для рівняння мКХ за умов, що розв’язок прямує до 1 коли |x| →∞. Для цієї задачі розроблено формалізм задачі РГ, який ґрунтується на адаптації загальної ідеї — використання спеціальних розв’язків (розв’язків Йоста) рівнянь пари Лакса як «блоків» для побудови матричної задачі РГ — до випадку рівняння мКХ, з урахуванням особливостей рівнянь пари Лакса, асоційованої з цим рівнянням. x-рівняння пари Лакса для рівняння мКХ, відомої в літературі, як спектральна задача зі спектральним параметром λ має дві особливості, що суттєво впливають на аналітичні властивості розв'язків Йоста, а саме: (а) λ входить у матрицю коефіцієнтів як добуток з «моментом» m(x,t), який у рамках оберненої задачі є невідомою функцією; (б) коли |x| →∞, m(x,t) прямує до ненульової сталої. Ці особливості впливають на проблему контролю поведінки розв'язків Йоста, коли λ →∞. Для вирішення цієї проблеми, (i) застосовуючи калібрувальні перетворення, рівняння пари Лакса трансформовано до форми, у якій діагональні члени домінують, коли λ →∞; (ii) введено нову просторову змінну, що дозволяє отримати явний опис поведінки розв'язків Йоста при λ →∞; (iii) введено новий спектральний параметр μ, що дозволяє уникнути нераціональної залежності коефіцієнтів у рівняннях пари Лакса від спектрального параметра. З використанням розробленого формалізму, отримано параметричне зображення розв’язку задачі Коші в термінах розв’язку асоційованої задачі РГ (дані для якої визначаються початковими даними), аналізуючи його поведінку при λ → 0. Запропонований формалізм дозволив охарактеризувати як регулярні, так і нерегулярні односолітонні розв’язки, що відповідають задачам РГ з тривіальними умовами стрибка та відповідним чином заданими умовами на лишки. Зокрема, охарактеризовано два типи нерегулярних солітонних розв’язків рівняння мКХ: (i) розв’язки піконного типу, які є функціями, неперервними разом із першою похідною, але мають необмежені похідні порядків більших за 2 у точці піку; (ii) петлеподібні багатозначні розв’язки. У розділі 3, використовуючи формалізм, розроблений у розділі 2, отримано головні члени асимптотики за великим часом t для розв’язку задачі Коші для рівняння мКХ на сталому ненульовому фоні. Дослідження зосереджене на безсолітонному випадку. Попередньо, вихідну задачу РГ, асоційовану з рівнянням мКХ, яка має специфічні сингулярності, зведено до регулярної задачі РГ, тобто такої, що має тільки умову стрибка та умову нормування. Далі, розв’язок отриманої регулярної задачі РГ проаналізовано асимптотично при t →∞, з використанням відповідної адаптації нелінійного методу найскорішого спуску. У підсумку, отримано головні асимптотичні члени для розв’язку u(x,t) задачі Коші у тих секторах півплощини (x,t), де відхилення від фону є нетривіальним. У розділі 4 розглядається задача Коші для рівняння мКХ за умов, що розв’язок прямує до двох різних констант коли x →± ∞. Для цієї задачі також розроблено формалізм задачі РГ. Для цього виконано перетворення рівнянь пари Лакса, які дозволяють детально дослідити аналітичні властивості відповідних розв’язків Йоста та спектральних функцій, зокрема, симетрії та поведінку в точках розгалуження. Подібно до випадку з постійним фоном, отримано параметричне зображення розв’язку задачі Коші.

Публікації

• A. Boutet de Monvel, I. Karpenko, D. Shepelsky, “A Riemann–Hilbert approach to the modified Camassa–Holm equation with nonzero boundary conditions”, J. Math. Phys. 61, No. 3, 031504, 24 (2020). Q2, https://doi.org/10.1063/1.5139519

• I. Karpenko, “Long-time asymptotics for the modified Camassa–Holm equation with nonzero boundary conditions”, Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry 16, No.2, 224–252 (2022). Q3, https://doi.org/10.15407/mag18.02.224

• I. Karpenko, D. Shepelsky, G. Teschl “A Riemann–Hilbert approach to the modified Camassa–Holm equation with step-like boundary conditions”, Monatshefte f¨ur Mathematik 201, (2023), 127–172. Q2, https://doi.org/10.1007/s00605-022-01786-y

• I. Karpenko, D. Shepelsky, “A Riemann–Hilbert approach to the modified Camassa–Holm equation with nonzero boundary conditions”, VI International Conference “Analysis and Mathematical Physics”, Kharkiv, Ukraine (June 2018).

• I. Karpenko, D. Shepelsky, “The Riemann–Hilbert approach to the Cauchy problem for the modified Camassa–Holm equation”, 6th Ya. B. Lopatynsky International School-Workshop on Differential Equations and Applications, Vinnytsia, Ukraine (June 2019).

• I. Karpenko, D. Shepelsky, “The inverse scattering transform, in the form of Riemann–Hilbert problem, for the modified Camassa–Holm equation”, Іnternational Conference dedicated to 70th anniversary of Professor A.M.Plichko “Banach Spaces and their Applications”, Lviv, Ukraine (June 2019).

• I. Karpenko, D. Shepelsky, “A Riemann–Hilbert problem approach to the modified Camassa–Holm equation on a nonzero background”, Pidzakharychi, Ukraine (August 2019).

• I. Karpenko, D. Shepelsky, “The modified Camassa–Holm equation on a nonzero background: large-time asymptotics for the Cauchy problem”, Workshop “New horizons in dispersive hydrodynamics”, Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences, Cambridge, United Kingdom (June 2021).

• I. Karpenko, D. Shepelsky, “The large-time asymptotics for the modified Camassa–Holm equation on a non-zero background”, 5-th International Conference “Differential Equations and Control Theory ”, V. N. Karazin Kharkiv National University, Kharkiv, Ukraine (September 2021).

• I. Karpenko, D. Shepelsky, G. Teschl, “A Riemann–Hilbert approach to the modified Camassa–Holm equation with step-like boundary conditions”, Ivano-Frankivsk, Ukraine (May 2022).

• I. Karpenko, “The modified Camassa–Holm equation on a step-like background”, Complex Analysis, Spectral Theory and Approximation meet in Linz, Johannes Kepler University, Linz, Austria (July 2022).

• I. Karpenko, “A Riemann–Hilbert problem approach to the modified Camassa–Holm equation on a step like background”, Workshop From Modeling and Analysis to Approximation and Fast Algorithms, Hasenwinkel, Germany (December 2022).

Файли

Схожі дисертації