Метою дослідження дисертаційної роботи є розробка методу оберненої задачі розсіювання у формі задачі Рімана-Гільберта (РГ) для модифікованого рівняння Камасси-Хольма (мКХ) m_t +(u^2-u_x^2)m_x = 0, m=u-u_{xx}, з подальшою метою дослідження властивостей розв'язків цього рівняння, зокрема, асимптотики за великим часом. Характерною особливістю задач Коші, які розглядаються для цього рівняння, є ненульові умови на поведінку розв’язку, коли просторова змінна x прямує до нескінченності.
Рівняння мКХ є модифікацією, з кубічною нелінійністю, оригінального рівняння Камасси-Хольма (КХ); воно, як і рівняння КХ, є інтегровним у тому сенсі, що воно є умовою сумісності пари лінійних диференціальних рівнянь (пари Лакса). Завдяки ненульовому фону, x-рівняння з пари Лакса можна розглядати як спектральну задачу, яка має неперервний спектр. Це дозволяє сформулювати обернену задачу розсіювання як задачу РГ аналітичної факторизації у комплексній площині спектрального параметра.
У розділі 2 розглядається задача Коші для рівняння мКХ за умов, що розв’язок прямує до 1 коли |x| →∞. Для цієї задачі розроблено формалізм задачі РГ, який ґрунтується на адаптації загальної ідеї — використання спеціальних розв’язків (розв’язків Йоста) рівнянь пари Лакса як «блоків» для побудови матричної задачі РГ — до випадку рівняння мКХ, з урахуванням особливостей рівнянь пари Лакса, асоційованої з цим рівнянням.
x-рівняння пари Лакса для рівняння мКХ, відомої в літературі, як спектральна задача зі спектральним параметром λ має дві особливості, що суттєво впливають на аналітичні властивості розв'язків Йоста, а саме: (а) λ входить у матрицю коефіцієнтів як добуток з «моментом» m(x,t), який у рамках оберненої задачі є невідомою функцією; (б) коли |x| →∞, m(x,t) прямує до ненульової сталої. Ці особливості впливають на проблему контролю поведінки розв'язків Йоста, коли λ →∞. Для вирішення цієї проблеми, (i) застосовуючи калібрувальні перетворення, рівняння пари Лакса трансформовано до форми, у якій діагональні члени домінують, коли λ →∞; (ii) введено нову просторову змінну, що дозволяє отримати явний опис поведінки розв'язків Йоста при λ →∞; (iii) введено новий спектральний параметр μ, що дозволяє уникнути нераціональної залежності коефіцієнтів у рівняннях пари Лакса від спектрального параметра. З використанням розробленого формалізму, отримано параметричне зображення розв’язку задачі Коші в термінах розв’язку асоційованої задачі РГ (дані для якої визначаються початковими даними), аналізуючи його поведінку при λ → 0.
Запропонований формалізм дозволив охарактеризувати як регулярні, так і нерегулярні односолітонні розв’язки, що відповідають задачам РГ з тривіальними умовами стрибка та відповідним чином заданими умовами на лишки. Зокрема, охарактеризовано два типи нерегулярних солітонних розв’язків рівняння мКХ: (i) розв’язки піконного типу, які є функціями, неперервними разом із першою похідною, але мають необмежені похідні порядків більших за 2 у точці піку; (ii) петлеподібні багатозначні розв’язки.
У розділі 3, використовуючи формалізм, розроблений у розділі 2, отримано головні члени асимптотики за великим часом t для розв’язку задачі Коші для рівняння мКХ на сталому ненульовому фоні. Дослідження зосереджене на безсолітонному випадку. Попередньо, вихідну задачу РГ, асоційовану з рівнянням мКХ, яка має специфічні сингулярності, зведено до регулярної задачі РГ, тобто такої, що має тільки умову стрибка та умову нормування. Далі, розв’язок отриманої регулярної задачі РГ проаналізовано асимптотично при t →∞, з використанням відповідної адаптації нелінійного методу найскорішого спуску. У підсумку, отримано головні асимптотичні члени для розв’язку u(x,t) задачі Коші у тих секторах півплощини (x,t), де відхилення від фону є нетривіальним.
У розділі 4 розглядається задача Коші для рівняння мКХ за умов, що розв’язок прямує до двох різних констант коли x →± ∞. Для цієї задачі також розроблено формалізм задачі РГ. Для цього виконано перетворення рівнянь пари Лакса, які дозволяють детально дослідити аналітичні властивості відповідних розв’язків Йоста та спектральних функцій, зокрема, симетрії та поведінку в точках розгалуження. Подібно до випадку з постійним фоном, отримано параметричне зображення розв’язку задачі Коші.
